Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-8x+m}$ có 3 đường tiệm cận.

Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \frac{x-1}{{{x}^{2}}-8x+m}=0$ nên đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang $y=0$
Do đó đồ thị hàm số đã cho có có 3 đường tiệm cận khi nó có 2 đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }^{'}}=16-m>0 \\
& {{1}^{2}}-8.1+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<16 \\
& m\ne 7 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 14 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu là $\left\{ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15 \right\}$