Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m{{.9}^{x}}-\left( 2m+1 \right){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)?$
A. 5
B. Vô số
C. 8
D. 6
A. 5
B. Vô số
C. 8
D. 6
Ta có $m{{.9}^{x}}-\left( 2m+1 \right){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow m.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}-\left( 2m+1 \right).{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}+m\le 0\left( * \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},$ khi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có (*) trở thành $m.{{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right).t+m\le 0$
$\Leftrightarrow m.{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le t\Leftrightarrow m\le \dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ (vì ${{\left( t-1 \right)}^{2}}>0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}},$ với $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{-t-1}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}<0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
Suy ra $m\le f\left( t \right),$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)\Leftrightarrow m\le f\left( \dfrac{3}{2} \right)=6.$
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},$ khi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có (*) trở thành $m.{{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right).t+m\le 0$
$\Leftrightarrow m.{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le t\Leftrightarrow m\le \dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ (vì ${{\left( t-1 \right)}^{2}}>0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}},$ với $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{-t-1}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}<0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
Suy ra $m\le f\left( t \right),$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)\Leftrightarrow m\le f\left( \dfrac{3}{2} \right)=6.$
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.