Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m {.9}^{x} - (2 m + 1) {.6}^{x} + m {.4}^{x} \leq 0$ nghiệm đúng với...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để bất phương trình

m {.9}^{x} - (2 m + 1) {.6}^{x} + m {.4}^{x} \leq 0

nghiệm đúng với mọi

x \in (0; 1) ?

A. 5
B. Vô số
C. 8
D. 6

Ta có

m {.9}^{x} - (2 m + 1) {.6}^{x} + m {.4}^{x} \leq 0 \Leftrightarrow m . {(\frac{3}{2})}^{2 x} - (2 m + 1) . {(\frac{3}{2})}^{x} + m \leq 0 (*)

Đặt

t = {(\frac{3}{2})}^{x},

khi

x \in (0; 1)

thì

t \in (1; \frac{3}{2}) .

Ta có (*) trở thành

m . t^{2} - (2 m + 1) . t + m \leq 0

\Leftrightarrow m . {(t - 1)}^{2} \leq t \Leftrightarrow m \leq \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}

(vì

{(t - 1)}^{2} > 0,

với mọi

t \in (1; \frac{3}{2})) .

Xét hàm số

f (t) = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}},

với

t \in (1; \frac{3}{2}) .

Ta có

f^{'} (t) = \frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}} < 0,

với mọi

t \in (1; \frac{3}{2})

.
Suy ra

m \leq f (t),

với mọi

t \in (1; \frac{3}{2}) \Leftrightarrow m \leq f (\frac{3}{2}) = 6.

Vì

m

nguyên dương nên

m \in {1; 2; 3; 4; 5; 6} .

Vậy có 6 giá trị của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình m.9x−(2m+1).6x+m.4x≤0 nghiệm đúng với...