Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình ${{4}^{x-1}}-m{{.2}^{x-2}}+1=0$ có nghiệm?

Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{x-2}}>0$.
- Cô lập m, đưa phương trình về dạng $m=g\left( t \right)\left( t>0 \right)$.
- Lập BBT của hàm số $g\left( t \right)$ khi $t>0$.
- Dựa vào BBT tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải chi tiết:
Ta có ${{4}^{x-1}}-m{{.2}^{x-2}}+1=0\Leftrightarrow 4.{{\left( {{2}^{x-2}} \right)}^{2}}-m{{.2}^{x-2}}+1=0$.
Đặt $t={{2}^{x-2}}>0$, phương trình đã cho trở thành $4{{t}^{2}}-mt+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4{{t}^{2}}+1}{t}=g\left( t \right)\left( t>0 \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{4{{t}^{2}}+1}{t}=4t+\dfrac{1}{t}$ có ${g}'\left( t \right)=4-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm $t>0\Leftrightarrow m\ge 4$.
Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
m\le 2021 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5;6;...;2020;2021 \right\}$.
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.