Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình ${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0$ có nghiệm dương?

${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2x}}-2.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}+\left( m-2 \right)=0\left( 1 \right).$
Đặt ${{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}=t;t>0$
Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành ${{t}^{2}}-2t+m-2=0\left( 2 \right).$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t+2=m.$
Số nghiệm phương trình $\left( 2 \right)$ là số giao điểm của đồ thị $y=-{{t}^{2}}+2t+2$ và đường thẳng $y=m.$
Ta có bảng biến thiên $y=-{{t}^{2}}+2t+2:$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi $m<3.$
Vậy có 2 số nguyên dương $m$ thỏa mãn.