Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=x^2+8\ln 2x-mx$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ ?

Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ thì $y^{\prime }\ge 0\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })\iff m\le \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)$.
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=(0;+\mathrm{\infty })$.
Ta có: $y^{\prime }=2x+8.{\displaystyle \frac{2}{2x}}-m=2x+{\displaystyle \frac{8}{x}}-m$
Để hàm số đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ thì $y^{\prime }\ge 0\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$.
$\iff 2x+{\displaystyle \frac{8}{x}}-m\ge 0\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$
$\iff m\le 2x+{\displaystyle \frac{8}{x}}\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })(\ast )$.
Đặt $g\left(x\right)=2x+{\displaystyle \frac{8}{x}}$, khi đó $(\ast )\iff m\le \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2x+{\displaystyle \frac{8}{x}}\ge 2\sqrt{2x.{\displaystyle \frac{8}{x}}}=2.4=8$ $\Rightarrow \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)=8$, dấu "=" xảy ra $\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{8}{x}}\iff x=2$.
Từ đó ta suy ra được $m\le 8$, kết hợp điều kiện $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m\in \{1;2;3;4;5;6;7;8\}$.
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.