Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y={{x}^{2}}+8\ln 2x-mx$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ?

Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì ${y}'\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left( x \right)\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${y}'=2x+8.\dfrac{2}{2x}-m=2x+\dfrac{8}{x}-m$
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì ${y}'\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow 2x+\dfrac{8}{x}-m\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\le 2x+\dfrac{8}{x}\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\left( * \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=2x+\dfrac{8}{x}$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2x+\dfrac{8}{x}\ge 2\sqrt{2x.\dfrac{8}{x}}=2.4=8$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=8$, dấu "=" xảy ra $\Rightarrow 2x=\dfrac{8}{x}\Leftrightarrow x=2$.
Từ đó ta suy ra được $m\le 8$, kết hợp điều kiện $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.