Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=\dfrac{8}{3}{{x}^{3}}+2\ln x-mx$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)?$

Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ thì ${y}'\ge 0\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
- Cô lập $m$, đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left( x \right)\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
- Lập BBT hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;1 \right)$ và kết luận.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số xác định trên $\left( 0;1 \right)$.
Ta có ${y}'=8{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}-m$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ thì ${y}'\ge 0\forall x\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow m\le 8{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=8{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x},x\in \left( 0;1 \right)$, khi đó ta có $m\le g\left( x \right)\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=16x-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=\dfrac{16{{x}^{3}}-2}{{{x}^{2}}}$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left( tm \right)$.
BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow m\le 6$. Kết hợp điều kiện $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.