Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m+9 \right)x+5$ nghịch biến trên khoảng $\left(...

(TH) – Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $y'\le 0\forall x\in \mathbb{R}.$
- Xét dấu tam thức bậc hai: $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right),f'\left( x \right)\le 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
TXÐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y'\le 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3<0\left( luonduong \right) \\
& {{m}^{2}}+3\left( 4m+9 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}+12m+27\le 0\Leftrightarrow -9\le m\le -3.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;...;-4;-3 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.