Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ (với $\left| m \right|<2021$ ) để phương trình ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m$ có nghiệm?

Phương pháp:
- Tìm hàm đặc trưng.
- Đưa phương trình về dạng $m=g\left( x \right)$, sử dụng tương giao tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Cách giải:
Ta có
${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+x+2m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)}}+{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x$ ta có $f'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0\forall x\in \mathbb{R}$
Khi đó ta có $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{2}}\left( x+2m \right) \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)\Rightarrow 2m={{2}^{x}}-x.$
Đặt $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ ta có: $g'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1.$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\dfrac{1}{\ln 2}={{\left( \ln 2 \right)}^{-x}}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}{{\left( \ln 2 \right)}^{-1}}=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)={{x}_{0}}.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi $2m\ge g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\Leftrightarrow 2m\ge -0,91\Leftrightarrow m\ge 0,455.$
Kết hợp với điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 1\le m<2021 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 2021 giá trị $m$ thỏa mãn.