Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho với mỗi giá trị của $m,$ bất phương trình ${{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+3\sqrt{{{\log...

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ đúng với mọi giá trị $x$ thuộc đoạn $\left[ 0;3 \right].$
- Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\ge 0,$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Lập BBT, xác định $t\in \left[ a;b \right]$ ứng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right].$
- Để phương trình nghiệm đúng $\forall t\in \left[ a;b \right]$ thì $\left[ a;b \right]\subset S,$ với $S$ là tập nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
ĐK: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m>0 \\
& {{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m\ge 1\forall x\in \left[ 0;3 \right].$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+2x+1\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)=2\left( * \right)$
Ta có:
${{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+3\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 10$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+3\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\le 10$
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\ge \sqrt{{{\log }_{2}}1}=0.$
Ta có:
$t=\dfrac{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m} \right)'}{2\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}}$
$=\dfrac{\dfrac{2x-2}{2\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}.\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\ln 2}}{2\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}}$
$=\dfrac{x-1}{\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\ln 2.2\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}}$
$t'=0\Leftrightarrow x=1.$
BBT:

Yêu cầu bài toán trở thành: bất phương trình ${{t}^{2}}+3t\le 10$ nghiệm đúng với mọi giá trị $x$ thuộc đoạn $\left[ 0;\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{m+3}} \right].$
$\Rightarrow t\in \left[ -5;2 \right]\forall t\in \left[ 0;\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{m+3}} \right].$
$\Rightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{m+3}}\le 2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{m+3}\le 4\Leftrightarrow \sqrt{m+3}\le 16\Leftrightarrow m\le 253.$
Kết hợp điều kiện (*) ta có $2\le m\le 253.$ Lại có $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ Có 252 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.