Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để phương trình ${{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?
A. $2020.$
B. 4040.
C. 4039.
D. 2018.
A. $2020.$
B. 4040.
C. 4039.
D. 2018.
Ta có phương trình
${{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0\Leftrightarrow {{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{m\left( x-2 \right)-1}{x-2}=0$
$\Leftrightarrow {{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+m-\dfrac{1}{x-2}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{x-2}-{{2020}^{x}}-\dfrac{2x-1}{x+1}$
Xét hàm số
$y=\dfrac{1}{x-2}-{{2020}^{x}}-\dfrac{2x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-{{2020}^{x}}.\ln \left( 2020 \right)-\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}.$
Ta có BBT
Vậy để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thì $m\in \left( -\infty ;-2 \right)$ mà $m\in \left[ -2020;2020 \right];m\in \mathbb{Z}$ nên ta có 2018 số nguyên $m$ cần tìm.
${{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0\Leftrightarrow {{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{m\left( x-2 \right)-1}{x-2}=0$
$\Leftrightarrow {{2020}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+m-\dfrac{1}{x-2}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{x-2}-{{2020}^{x}}-\dfrac{2x-1}{x+1}$
Xét hàm số
$y=\dfrac{1}{x-2}-{{2020}^{x}}-\dfrac{2x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-{{2020}^{x}}.\ln \left( 2020 \right)-\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}.$
Ta có BBT
Vậy để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thì $m\in \left( -\infty ;-2 \right)$ mà $m\in \left[ -2020;2020 \right];m\in \mathbb{Z}$ nên ta có 2018 số nguyên $m$ cần tìm.
Đáp án D.