Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để hàm số $y={{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{\dfrac{x+21}{x+3m}}}$ đồng...

Ta có $y'=\dfrac{3m-21}{{{\left( x+3m \right)}^{2}}}.{{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{\dfrac{x+21}{x+3m}}}\ln \dfrac{7}{9},x\ne -3m.$
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $y'>0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3m-21<0 \\
& -3m\notin \left( 3;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& -3m\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<7. $ Vì $ {{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{\dfrac{x+2}{x+3m}}}>0 $ và $ \ln \dfrac{7}{9}<0.$
Kết hợp với điều kiện $m$ là số nguyên và $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ suy ra $m\left\{ -1,0,1,2,3,4,5,6 \right\}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số $m.$