The Collectors

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình...

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m$ có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$ biết $f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.$
A. 24.
B. 64.
C. 15.
D. 16.
Đặt $t=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{x}^{3}}-m \\
& f\left( x \right)={{t}^{3}}-m \\
\end{aligned} \right.. $ Từ đó suy ra $ f\left( t \right)+{{t}^{3}}=f\left( x \right)+{{x}^{3}},\left( 1 \right).$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{{x}^{3}}={{x}^{5}}+4{{x}^{3}}-4m$ thì $g'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in R.$ Do đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $R.$
Kết hợp với $\left( 1 \right)$ ta suy ra $t=x$ hay $f\left( x \right)+m={{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{5}}+2{{x}^{3}}=3m.$
Xét hàm $h\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}$ trên $\left[ 1;2 \right]$ ta có $h'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}\ge 0.$ Nên GTNN và GTLN của $h\left( x \right)$ lần lượt là $h\left( 1 \right)=3$ và $h\left( 2 \right)=48.$
Phương trình có nghiệm trên $\left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi $3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16.$ Vậy có 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Đáp án D.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top