Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{\log...

Điều kiện: $x>0$
${{\log }_{3}}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\Leftrightarrow $ ${{\log }_{3}}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0$ (1).
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$ với $x\in \left[ 1,9 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0,2 \right]$.
Với $t\in \left[ 0,2 \right]$ phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-mt+2-m=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}=m$.
Đặt $f(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$. Để thỏa mãn yêu cầu bài toán $\underset{\left[ 0,2 \right]}{\mathop{\min }} f(t)\le m\le \underset{\left[ 0,2 \right]}{\mathop{\max }} f(t)$.
$f'(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{(t+1)}^{2}}}$ ; $f'(t)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+\sqrt{3}\in \left[ 0,2 \right] \\
& t=-1-\sqrt{3}\notin \left[ 0,2 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$\left\{ \begin{aligned}
& f(0)=2 \\
& f\left( \sqrt{3}-1 \right)=2\sqrt{3}-2 \\
& f(2)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 0,2 \right]}{\mathop{\min }} f(t)=2\sqrt{3}-2; \underset{\left[ 0,2 \right]}{\mathop{\max }} f(t)=2$.
Nên $2\sqrt{3}-2\le m\le 2$. Mà $m\in Z$ nên $m=2$.