Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right].$

Phương pháp:
- Đặt $t={{\log }_{3}}x,$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Cô lập $m,$ tìm điều kiện để phương trình $m=f\left( t \right)$ có nghiệm.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{{{3}^{2}}}}{{x}^{2}}+2-m=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0 \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{\log }_{3}}x,$ với $1\le x\le 9\Leftrightarrow 1\le t\le 2,$ phương trình trở thành ${{t}^{2}}-mt+2-m=0.$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $m$ để phương trình ${{t}^{2}}-mt+2-m=0\left( * \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right].$
$\left( * \right)\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)={{t}^{2}}+2\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}=f\left( t \right)\forall t\left[ 1;2 \right].$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{2t.\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}+2 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}.$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1\pm \sqrt{3}\notin \left[ 1;2 \right].$
Ta có $f\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2};f\left( 2 \right)=2.$
Do đó phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left[ \dfrac{3}{2};2 \right].$ Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=2.$
Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.