Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=m$ có nghiệm thực?

Phương trình: $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=m$
Đặt $t=\left| \sin x-\cos x \right|=\left| \sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right) \right|$ (Điều kiện: $0\le t\le \sqrt{2})$
$\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}=1-2\sin x\cos x\Rightarrow \sin 2x=1-{{t}^{2}}$
$\Rightarrow $ Phương trình: $t+4\left( 1-{{t}^{2}} \right)=m\Leftrightarrow -4{{t}^{2}}+t+4=m$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=-4{{t}^{2}}+t+4$ trên đoạn $\left[ 0;\sqrt{2} \right]$
$y'=f'\left( t \right)=-8t+1=0\Leftrightarrow -8t=-1\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{8}.$
Bảng biến thiên:

$f\left( 0 \right)=4;f\left( \dfrac{1}{8} \right)=\dfrac{65}{16};f\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}-4\Rightarrow \underset{\left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{Min}} f\left( t \right)=\sqrt{2}-4;\underset{\left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{Max}} f\left( t \right)=\dfrac{65}{16}$
$\Rightarrow \sqrt{2}-4\le m\le \dfrac{65}{16},$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực.