Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số...

Ta có $y={{x}^{10}}+\left( m-2 \right){{x}^{7}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{6}}+1$ $\Rightarrow {y}'=10{{x}^{9}}+7\left( m-2 \right){{x}^{6}}-6\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{5}}$.
${y}'=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{5}}\left[ 10{{x}^{4}}+7\left( m-2 \right)x-6\left( {{m}^{2}}-4 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g\left( x \right)=10{{x}^{4}}+7\left( m-2 \right)x-6\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=10{{x}^{4}}+7\left( m-2 \right)x-6\left( {{m}^{2}}-4 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=40{{x}^{3}}+7\left( m-2 \right)$.
Ta thấy ${g}'\left( x \right)=0$ có một nghiệm nên $g\left( x \right)=0$ có tối đa hai nghiệm
+ TH1: Nếu $g\left( x \right)=0$ có nghiệm $x=0$ $\Rightarrow m=2$ hoặc $m=-2$
Với $m=2$ thì $x=0$ là nghiệm bội $4$ của $g\left( x \right)$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội 9 của ${y}'$ và ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=2$ thỏa ycbt.
Với $m=-2$ thì $g\left( x \right)=8{{x}^{4}}-20x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên

Dựa vào BBT $x=0$ không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=-2$ không thỏa ycbt.
+ TH2: $g\left( 0 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \pm 2$. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ $\Leftrightarrow g\left( 0 \right)>0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$.
Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa ycbt.