Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left( 4-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+x+m-1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $5$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Ta có ${y}'=3\left( 4-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+1$.
* Với $m=-2$ không thỏa mãn.
* Với $m=2$ thỏa mãn.
* Với $m\ne \pm 2$. Ta có ${\Delta }'={{\left( m-2 \right)}^{2}}-3\left( 4-{{m}^{2}} \right)=4{{m}^{2}}-4m-8$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'\le 0 \\
& 4-{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-2\le 0 \\
& -2<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le m\le 2 \\
& -2<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<2$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1,m=0$ và $m=2$.
* Với $m=-2$ không thỏa mãn.
* Với $m=2$ thỏa mãn.
* Với $m\ne \pm 2$. Ta có ${\Delta }'={{\left( m-2 \right)}^{2}}-3\left( 4-{{m}^{2}} \right)=4{{m}^{2}}-4m-8$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'\le 0 \\
& 4-{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-2\le 0 \\
& -2<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le m\le 2 \\
& -2<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<2$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1,m=0$ và $m=2$.
Đáp án B.