Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-m-6 \right){{x}^{3}}+\left( m-3 \right){{x}^{2}}-2x+1$ nghịch biến trên...

Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm.
Cách giải:
Ta có $y=\left( {{m}^{2}}-m-6 \right){{x}^{3}}+\left( m-3 \right){{x}^{2}}-2x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$\Rightarrow y'=3\left( {{m}^{2}}-m-6 \right){{x}^{2}}+2\left( m-3 \right)x-2\le 0\forall x\in \mathbb{R}$
TH1: ${{m}^{2}}-m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $m=3$ thì $y=-2x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (đúng) $\Rightarrow m=3$ thỏa mãn.
+ Với $m=-2$ thì $y=-5{{x}^{2}}-2x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (sai) $\Rightarrow m=-2$ không thỏa mãn.
TH2: ${{m}^{2}}-m-6\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Đề hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y'\le 0\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)<0 \\
& \Delta '={{\left( m-3 \right)}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<m<3 \\
& 7{{m}^{2}}-12m-27\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<m<3 \\
& -\dfrac{9}{7}\le m\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{9}{7}\le m<3.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}.$
Kết hợp cả 2 TH ta có $m\in \left\{ -1;0;1;2;3 \right\}.$ Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa mãn.