Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+4m}$ nghịch biến trên $\left( 2;+\infty \right)?$

Hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+4m}.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -4m \right\}.$
$y'=\dfrac{4m-3}{{{\left( x+4m \right)}^{2}}}.$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $m<\dfrac{3}{4}.$ Khi đó hàm số nghịch biến trên $\left( 2;+\infty \right)$ khi $-4m\le 2\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}.$ Đối chiều điều kiện trên có một giá trị nguyên là $m=0.$