Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:
${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình: ${{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}}=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{3}^{2}}-4{{m}^{2}}>0 \\
& {{0}^{2}}+3.0+{{m}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-\dfrac{3}{2}<m<\dfrac{3}{2} \\
m\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên $m$ gồm: $\left\{ -1;1 \right\}$.
${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình: ${{x}^{2}}+3x+{{m}^{2}}=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{3}^{2}}-4{{m}^{2}}>0 \\
& {{0}^{2}}+3.0+{{m}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-\dfrac{3}{2}<m<\dfrac{3}{2} \\
m\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên $m$ gồm: $\left\{ -1;1 \right\}$.
Đáp án C.