Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m}}$ có hai tiệm cận đứng?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
ĐK: $x\ge -1$ và ${{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m>0$
Xét phương trình $1+\sqrt{x+1}=0$ vô nghiệm.
Xét phương trình ${{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m=0\left( * \right).$ Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK $x\ge -1.$
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5+2\sqrt{6} \\
& m<5-2\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ ta có:
${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\ge -1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& af\left( -1 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{S}{2}>-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+2\ge 0 \\
& 2-m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -2 \\
& m<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m<4$
Kết hợp điều kiện ta có: $m\in \left[ -2;5-2\sqrt{6} \right)\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}.$
Thử lại:
Với $m=-2\Rightarrow {{x}^{2}}-3x-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>4 \\
& x<-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left( 4;+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-4}}$ có 1 tiệm cận đứng $x=4\Rightarrow $ Loại.
Với $m=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>1+\sqrt{3} \\
& x<1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left[ -1;1-\sqrt{3} \right)\cup \left( 1+\sqrt{3};+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}$ có 2 tiệm cận đứng $x=1\pm \sqrt{3}\Rightarrow TM.$
Khi $m=0\Rightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left[ -1;1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}$ có 2 tiệm cận đứng $x=0;x=1\Rightarrow TM.$
Vậy $m\in \left\{ -1;0 \right\}.$
Xét phương trình $1+\sqrt{x+1}=0$ vô nghiệm.
Xét phương trình ${{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m=0\left( * \right).$ Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK $x\ge -1.$
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5+2\sqrt{6} \\
& m<5-2\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ ta có:
${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\ge -1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& af\left( -1 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{S}{2}>-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+2\ge 0 \\
& 2-m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -2 \\
& m<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m<4$
Kết hợp điều kiện ta có: $m\in \left[ -2;5-2\sqrt{6} \right)\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}.$
Thử lại:
Với $m=-2\Rightarrow {{x}^{2}}-3x-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>4 \\
& x<-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left( 4;+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-4}}$ có 1 tiệm cận đứng $x=4\Rightarrow $ Loại.
Với $m=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>1+\sqrt{3} \\
& x<1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left[ -1;1-\sqrt{3} \right)\cup \left( 1+\sqrt{3};+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}$ có 2 tiệm cận đứng $x=1\pm \sqrt{3}\Rightarrow TM.$
Khi $m=0\Rightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow TXD:D=\left[ -1;1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}$ có 2 tiệm cận đứng $x=0;x=1\Rightarrow TM.$
Vậy $m\in \left\{ -1;0 \right\}.$
Đáp án A.