Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ trên đoạn $\left[ -10; 10 \right]$ để phương trình
${{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}=\ln \left(1+x+a \right)-\ln \left(1+x \right)$ có nghiệm duy nhất.
A. $2$.
B. $10$.
C. $1$.
D. $20$
${{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}=\ln \left(1+x+a \right)-\ln \left(1+x \right)$ có nghiệm duy nhất.
A. $2$.
B. $10$.
C. $1$.
D. $20$
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix}
x+1+a>0 \\
x+1>0 \\
\end{matrix} \right.$ (*)
Phương trình tương đương với ${{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\left( \ln \left( 1+x+a \right)-\ln \left( 1+x \right) \right)=0$.
Đặt $f\left( x \right)={{\text{e}}^{x+a}}-{{e}^{x}}$, $g\left( x \right)=\ln \left( 1+x+a \right)-\ln \left( 1+x \right)$, $Q\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$
Phương trình đã cho viết lại thành $Q\left( x \right)=0$
+) Với $a=0$ thì $Q\left( x \right)=0$ (luôn đúng với mọi $x$ thoả mãn (*)).
+) Với $a>0$ có (*) tương đương với $x>-1$, $f\left( x \right)$ đồng biến và $g\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1$
Khi đó, $Q\left( x \right)$ đồng biến với $x>-1$. (1)
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \dfrac{1+x+a}{1+x} \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=-\infty \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x}}\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=+\infty \\
\end{aligned} \right.$ (2)
Kết hợp (1), (2) thì phương trình $Q\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất.
+) Với $a<0$ có (*) tương đương với $x>-1-a$, $g\left( x \right)$ đồng biến và $f\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1-a$.
Khi đó, $Q\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1-a$. (3)
Ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \dfrac{1+x+a}{1+x} \right)=\underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=+\infty \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x}}\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=-\infty \\
\end{aligned} \right.$(4)
Kết hợp (3), (4) suy ra $Q\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất.
Do $a$ là số nguyên trên đoạn $\left[ -10;10 \right]$ nên kết hợp 3 trường hợp trên thấy có 20 giá trị của $a$
thoả mãn điều kiện của bài.
x+1+a>0 \\
x+1>0 \\
\end{matrix} \right.$ (*)
Phương trình tương đương với ${{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\left( \ln \left( 1+x+a \right)-\ln \left( 1+x \right) \right)=0$.
Đặt $f\left( x \right)={{\text{e}}^{x+a}}-{{e}^{x}}$, $g\left( x \right)=\ln \left( 1+x+a \right)-\ln \left( 1+x \right)$, $Q\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$
Phương trình đã cho viết lại thành $Q\left( x \right)=0$
+) Với $a=0$ thì $Q\left( x \right)=0$ (luôn đúng với mọi $x$ thoả mãn (*)).
+) Với $a>0$ có (*) tương đương với $x>-1$, $f\left( x \right)$ đồng biến và $g\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1$
Khi đó, $Q\left( x \right)$ đồng biến với $x>-1$. (1)
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \dfrac{1+x+a}{1+x} \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=-\infty \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x}}\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=+\infty \\
\end{aligned} \right.$ (2)
Kết hợp (1), (2) thì phương trình $Q\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất.
+) Với $a<0$ có (*) tương đương với $x>-1-a$, $g\left( x \right)$ đồng biến và $f\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1-a$.
Khi đó, $Q\left( x \right)$ nghịch biến với $x>-1-a$. (3)
Ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \dfrac{1+x+a}{1+x} \right)=\underset{x\to {{\left( -1-a \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=+\infty \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} Q\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {{e}^{x}}\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \left( 1+\dfrac{a}{1+x} \right) \right]=-\infty \\
\end{aligned} \right.$(4)
Kết hợp (3), (4) suy ra $Q\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất.
Do $a$ là số nguyên trên đoạn $\left[ -10;10 \right]$ nên kết hợp 3 trường hợp trên thấy có 20 giá trị của $a$
thoả mãn điều kiện của bài.
Đáp án D.