Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ thuộc đoạn $\left[...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\ln \left( 1+x+a \right)+\ln \left( 1+x \right)$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& x>-1-a \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}-\dfrac{1}{x+1+a}+\dfrac{1}{x+1}$.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Với $a=0\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có vô số nghiệm. Suy ra $a=0$ không thỏa yêu cầu đề bài.
TH2: Với $a\ge 1$ ta có $-1-a\le -2$ nên hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$.
Khi đó, vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}>0 \\
& \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1+a}>0 \\
\end{aligned} \right., \forall x>-1 $ nên $ {f}'\left( x \right)>0, \forall x>-1$.
Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$.
Mặt khác, ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty \\
& f\left( 1 \right)=e\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \dfrac{a+2}{2}>0 \\
\end{aligned} \right. $ nên phương trình $ f\left( x \right)=0 $ có nghiệm duy nhất trên khoảng $ \left( -1;+\infty \right)$.
TH3: Với $a\le -1$ ta có $-1-a\ge 0$ nên hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( -1-a;+\infty \right)$.
Khi đó, vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{x+a}}-{{e}^{x}}<0 \\
& \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1+a}<0 \\
\end{aligned} \right., \forall x>-1-a $ nên $ {f}'\left( x \right)<0, \forall x>-1-a$.
Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1-a;+\infty \right)$.
Mặt khác, ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{\left( -a-1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty \\
& f\left( 10 \right)={{e}^{10}}\left( {{e}^{a}}-1 \right)-\ln \dfrac{a+11}{10}<0 \\
\end{aligned} \right. $ nên phương trình $ f\left( x \right)=0 $ có nghiệm duy nhất trên khoảng $ \left( -1-a;+\infty \right)$.