Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -2021 ; 2022 \right)$ sao cho bất phương trình $m{{.4}^{x}}+\left( m-1 \right){{.2}^{x+2}}+m-1>0$ nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$.
A. $2022$.
B. $2021$.
C. $1$.
D. $0$.
A. $2022$.
B. $2021$.
C. $1$.
D. $0$.
Bất phương trình $\Leftrightarrow m{{.4}^{x}}+4\left( m-1 \right){{.2}^{x}}+m-1>0$ $\Leftrightarrow m\left( {{4}^{x}}+{{4.2}^{x}}+1 \right)>1+{{4.2}^{x}}$ $\Leftrightarrow m>\dfrac{1+{{4.2}^{x}}}{{{4}^{x}}+{{4.2}^{x}}+1}$
Đặt ${{2}^{x}}=t$. Khi đó $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ thì bất phương trình $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$ nghiệm đúng $\forall t>0$.
Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{4{{t}^{2}}+2t}{{{\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)}^{2}}}<0,\forall t>0$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Khi đó $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$ $\forall t>0$ khi và chỉ khi $m\ge f\left( 0 \right)=1$
Vì $m\in \left( -2021 ; 2022 \right)\Rightarrow $ có 2021 giá trị cần tìm.
Đặt ${{2}^{x}}=t$. Khi đó $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ thì bất phương trình $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$ nghiệm đúng $\forall t>0$.
Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{4{{t}^{2}}+2t}{{{\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)}^{2}}}<0,\forall t>0$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Khi đó $m>\dfrac{4t+1}{{{t}^{2}}+4t+1}$ $\forall t>0$ khi và chỉ khi $m\ge f\left( 0 \right)=1$
Vì $m\in \left( -2021 ; 2022 \right)\Rightarrow $ có 2021 giá trị cần tìm.
Đáp án B.