Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ${{\log...

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f(x)={{\log }_{a}}g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)>0$
- Cô lập m, đưa phương trình về dạng $m=f\left( x \right).~$
- Lập BBT của hàm số $f\left( x \right),$ từ BBT tìm điều kiện của mđể phương trình vô nghiệm.
Cách giải:
ĐKXĐ$:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
mx>0 \\
x+1>0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
mx>0 \\
x>-1 \\
\end{array} \right. \right.$.
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{2}}(mx)={{\log }_{\sqrt{2}}}(x+1) \\
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(mx)=2{{\log }_{2}}(x+1) \\
\Leftrightarrow \log ,(mx)=\log ,{{(x+1)}^{2}} \\
\Leftrightarrow mx={{(x+1)}^{2}}(*) \\
\end{array}$
Do $x>-1\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}>0\Rightarrow mx\ne 0\Leftrightarrow x\ne 0$
Do đó (*) $\Leftrightarrow m=\dfrac{{{(x+1)}^{2}}}{x}=f(x)\text{ Voi }x>-1,x\ne 0$
Ta có:
${{f}^{\prime }}(x)=\dfrac{2(x+1).x-{{(x+1)}^{2}}}{{{x}^{2}}}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
{{f}^{\prime }}(x)=\dfrac{2{{x}^{2}}+2x-{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}} \\
{{f}^{\prime }}(x)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
x=-1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
BBT:


Dựa vào BBT ta thấy phương (*) vô nghiệm $\Leftrightarrow 0\le m<4$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1;2;3\}$.
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.