Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${{\log...

Xét bài toán: Tìm $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( mx \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+1 \right)$ $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Điều kiện $x+1>0$ $\left( 2 \right)$ và $mx>0$ $\left( 3 \right)$
Với điều kiện trên thì $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( mx \right)={{\log }_{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow mx={{\left( x+1 \right)}^{2}}$ $\left( 4 \right)$
* Nếu $x=0$ thì $\left( 4 \right)$ vô lý.
* Nếu $x\ne 0$ thì $\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x}$ trên tập $D=\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}$
$f'\left( x \right)$ không xác định tại $x=0$
$f'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$.

Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình đã cho có nghiệm thì $m<0$ hoặc $m\ge 4$
Từ đó suy ra để phương trình đã cho vô nghiệm thì $0\le m<4$.
Vậy $m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.