Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( mx \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+1 \right)$ vô nghiệm?

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)={{\log }_{a}}g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)>0.$
- Cô lập $m,$ đưa phương trình về dạng $m=f\left( x \right).$
- Lập BBT của hàm số $f\left( x \right),$ từ BBT tìm điều kiện của $m$ để phương trình vô nghiệm.
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& mx>0 \\
& x+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& mx>0 \\
& x>-1 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( mx \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( mx \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+1 \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( mx \right)={{\log }_{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow mx={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( * \right)$
Do $x>-1\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow mx\ne 0\Leftrightarrow x\ne 0.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=f\left( x \right)$ với $x>-1,x\ne 0.$
Ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{2\left( x+1 \right).x-{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}+2x-{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) vô nghiệm $\Leftrightarrow 0\le m<4.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}.$
Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.