Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left[ {{\log...

Điều kiện xác định: $x>1$
Phương trình $\left[ {{\log }_{2}}(x-1)+x-2 \right]\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+3}}+m-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}(x-1)+x-2=0 (1) \\
& {{4}^{x}}-{{2}^{x+3}}+m-1=0 (2) \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình (1): ${{\log }_{2}}(x-1)+x-2=0$, với $x>1$
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{2}}t+t-1$ với $t>0$
$\Rightarrow {f}'(t)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Mà $f(x-1)=0=f(1)$ $\Leftrightarrow x=2$
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác $2$.
Đặt $t={{2}^{x}}, $ vì $x>1 $ nên $t>2 $
Ta có phương trình (2) trở thành: ${{t}^{2}}-8t+m-1=0$, với $t>2, t\ne 4$ (3)
$\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+8t+1$
Xét hàm số $g(t)=-{{t}^{2}}+8t+1$, $t>2, t\ne 4$
Ta có bảng biến thiên như sau

Để (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $2 $ thì $13<m<17 $
Vì $m\in \mathbb{Z} $ nên $m\in \left\{ 14;15;16 \right\} $