Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left[ {{\log...

Điều kiện xác định: $x>1$
Phương trình $[{\log }_2(x-1)+x-2](4^x-2^{x+3}+m-1)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& {\log }_2(x-1)+x-2=0(1)\\ & 4^x-2^{x+3}+m-1=0(2)\end{array}$
Xét phương trình (1): ${\log }_2(x-1)+x-2=0$, với $x>1$
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t-1$ với $t>0$
$\Rightarrow f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{1}{t.\ln 2}}+1>0,\mathrm{\forall }t>0$
$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$
Mà $f(x-1)=0=f(1)$ $\iff x=2$
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác $2$.
Đặt $t=2^x,$ vì $x>1$ nên $t>2$
Ta có phương trình (2) trở thành: $t^2-8t+m-1=0$, với $t>2,t\ne 4$ (3)
$\iff m=-t^2+8t+1$
Xét hàm số $g(t)=-t^2+8t+1$, $t>2,t\ne 4$
Ta có bảng biến thiên như sau

Để (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $2$ thì $13<m<17$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{14;15;16\}$