Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-12x+1-m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng $m=f\left( x \right)$.
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số $y=f\left( x \right)$ và tìm m thỏa mãn.
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{3}}-12x+1-m=0\Leftrightarrow m={{x}^{3}}-12x+1=f\left( x \right)$.
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12=0\Leftrightarrow x=\pm 2$.
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt thì $-15<m<17$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -14;-13;-12;...;15;16 \right\}$. Vậy có 31 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.