Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $a$ để hàm số $y=\left|...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+2a{{x}^{2}}+8x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4ax+8$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+4ax+8=0$ $\Rightarrow a=-{{x}^{2}}-\dfrac{2}{x}$.
Đặt $g\left( x \right)=-{{x}^{2}}-\dfrac{2}{x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-2x+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Xét phương trình $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2a{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}+2ax+8=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình ${{x}^{3}}+2ax+8=0\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{4}{x}$.
Đặt $h\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{4}{x}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=-x+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{4}$.
Bảng biến thiên
Nhận xét: Số cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị hàm số $y=f\left( x \right)$ và số nghiệm bội lẻ của phương trình $f\left( x \right)=0$.
Do đó yêu cầu bài toán suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ có 1 cực trị và phương trình $f\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ $\left\{ \begin{aligned}
& a\ge -3 \\
& a>-3\sqrt[3]{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a\ge -3$.
Vì tham số $a$ nguyên âm nên $a\in \left\{ -1;-2;-3 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số $a$ thoả mãn.