Có bao nhiêu giá trị nguyên $a\in \left[ 1;20 \right]$ sao cho bất phương trình $2\left({{x}^{a}}+\dfrac{1}{{{x}^{a}}}+7 \right)\ge 9\left(...

Trường hợp $a=1:$ bất phương trình đã cho trở thành
$2\left( x+\dfrac{1}{x}+7 \right)\ge 9\left( x+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}-2\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{2}\le 0\Leftrightarrow x=1$ (do $x>0).$
$\Rightarrow a=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp $a=2:$ bất phương trình đã cho trở thành
$2\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+7 \right)\ge 9\left( x+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow 2{{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}-9\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+10\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{5}{2} \\
& x+\dfrac{1}{x}\le 2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-5x+2\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-2x+1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& 0<x\le \dfrac{1}{2} \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. $ (do $ x>0$).
$\Rightarrow a=2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp $a\ge 3:$
Xét hàm số $f\left( a \right)=2\left( {{x}^{a}}+\dfrac{1}{{{x}^{a}}}+7 \right)=2\left( {{x}^{a}}+{{x}^{-a}}+7 \right)$ với $x$ là tham số dương.
Ta có: $f'\left( a \right)=2\left( {{x}^{a}}.\ln x-{{x}^{-a}}.\ln x \right)=2\left( {{x}^{a}}-\dfrac{1}{{{x}^{a}}} \right)\ln x.$
+) Nếu $0<x<1$ thì ${{x}^{a}}\le {{x}^{3}}<1<\dfrac{1}{{{x}^{a}}}$ và $\ln x<0\Rightarrow f'\left( a \right)>0,\forall a\ge 3.$
+) Nếu $x=1$ thì $f'\left( a \right)=0$
+) Nếu $x>1$ thì ${{x}^{a}}\ge {{x}^{3}}>1>\dfrac{1}{{{x}^{a}}}$ và $\ln x>0\Rightarrow f'\left( a \right)>0,\forall a\ge 3.$
Từ đó suy ra $f'\left( a \right)\ge 0,\forall a\ge 3,$ tức là hàm số $f\left( a \right)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 3;+\infty \right).$
$\Rightarrow f\left( a \right)\ge f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{a}}+\dfrac{1}{{{x}^{a}}}+7 \right)\ge 2\left( {{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}+7 \right)=2{{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}^{3}}-6\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+14.$
Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}$ (điều kiện: $t\ge 2,$ do $x+\dfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2),$ ta được:
$2\left( {{x}^{a}}+\dfrac{1}{{{x}^{a}}}+7 \right)\ge 2{{t}^{3}}-6t+14=\left( t-2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+4t-7 \right)+9t\ge 9t,\forall t\ge 2$
$\Rightarrow 2\left( {{x}^{a}}+\dfrac{1}{{{x}^{a}}}+7 \right)\ge 9\left( x+\dfrac{1}{x} \right),\forall x>0.$
Suy ra với $a\ge 3$ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right).$
Mặt khác, do $a$ nguyên và $a\in \left[ 1;20 \right]$ nên $a\in \left\{ 3;...;20 \right\}.$
Vậy có 18 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.