Có bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2m$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
+) Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

Đồng nhất hệ số ta được
Thay vào phương trình ta được

+) Điều kiện đủ:
+ Với thì (không thỏa mãn).
+ Với thì (thỏa mãn điều kiện).
+ Với thì (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.