Có bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y=-x^3+m{x}^2-2m$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $-x^3+m{x}^2-2m=0\left(1\right).$
+) Điều kiện cần:
Giả sử phương trình $\left(1\right)$ có ba nghiệm $x_1,x_2,x_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
$\Rightarrow -x^3+m{x}^2-2m=-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Đồng nhất hệ số ta được $x_2={\displaystyle \frac{m}{3}}.$
Thay $x_2={\displaystyle \frac{m}{3}}$ vào phương trình $\left(1\right)$ ta được $-{\displaystyle \frac{m^3}{27}}+{\displaystyle \frac{m^3}{9}}-2m=0$
$\iff m^3-27m=0\iff [\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=\pm 3\sqrt{3}\end{array}$
+) Điều kiện đủ:
+ Với $m=0$ thì $\left(1\right)\iff x=0$ (không thỏa mãn).
+ Với $m=3\sqrt{3}$ thì $\left(1\right)\iff -x^3+3\sqrt{3}{x}^2-6\sqrt{3}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-3+\sqrt{3}\\ & x=\sqrt{3}\\ & x=3+\sqrt{3}\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).
+ Với $m=-3\sqrt{3}$ thì $\left(1\right)\iff -x^3-3\sqrt{3}{x}^2+6\sqrt{3}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-3-\sqrt{3}\\ & x=-\sqrt{3}\\ & x=3-\sqrt{3}\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.