Có bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2m$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2m=0\left( 1 \right).$
+) Điều kiện cần:
Giả sử phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
$\Rightarrow -{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2m=-\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$
Đồng nhất hệ số ta được ${{x}_{2}}=\dfrac{m}{3}.$
Thay ${{x}_{2}}=\dfrac{m}{3}$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $-\dfrac{{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{3}}}{9}-2m=0$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}-27m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\pm 3\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
+) Điều kiện đủ:
+ Với $m=0$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=0$ (không thỏa mãn).
+ Với $m=3\sqrt{3}$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+3\sqrt{3}{{x}^{2}}-6\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3+\sqrt{3} \\
& x=\sqrt{3} \\
& x=3+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).
+ Với $m=-3\sqrt{3}$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3\sqrt{3}{{x}^{2}}+6\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3-\sqrt{3} \\
& x=-\sqrt{3} \\
& x=3-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.