Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{m{x}^2-1}{x^2-3x+2}}$ có đúng 2 đường tiệm cận?

Phương pháp:
- Tính $\underset{x\Rightarrow +\mathrm{\infty }}{lim}y$ để tìm TCN của đồ thị hàm số. Chứng minh hàm số có 1 TCN.
- Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì nó cần phải có 1 đường TCĐ, khi đó phương trình $m{x}^2-1=0$ phải có 1 nghiệm trùng với một nghiệm của phương trình $x^2-3x+2=0.$ Từ đó tìm $m.$
- Thử lại và kết luận.
Cách giải:
Ta có: $\underset{x\Rightarrow \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\Rightarrow \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{m-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}}=m\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang $y=m.$
Để hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.
Xét phương trình mẫu số $x^2-3x+2=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=2\end{array}.$
Khi đó phương trình $m{x}^2-1=0$ phải có 1 nghiệm bằng 1 hoặc bằng 2. Khi đó ta có:
$[\begin{array}{rl}& m-1=0\\ & 4m-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$
Thử lại:
Với $m=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-3x+2}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}\Rightarrow \underset{x\Rightarrow 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2.$
Với $m={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-1}{x^2-3x+2}}={\displaystyle \frac{x+2}{4(x-1)}}\Rightarrow \underset{x\Rightarrow 1^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1.$
Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn là $m=1,m={\displaystyle \frac{1}{4}}.$