The Collectors

Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có đúng 2 đường tiệm cận?

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có đúng 2 đường tiệm cận?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Phương pháp:
- Tính $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y$ để tìm TCN của đồ thị hàm số. Chứng minh hàm số có 1 TCN.
- Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì nó cần phải có 1 đường TCĐ, khi đó phương trình $m{{x}^{2}}-1=0$ phải có 1 nghiệm trùng với một nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x+2=0.$ Từ đó tìm $m.$
- Thử lại và kết luận.
Cách giải:
Ta có: $\underset{x\Rightarrow \pm \infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{m-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}=m\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang $y=m.$
Để hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.
Xét phương trình mẫu số ${{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó phương trình $m{{x}^{2}}-1=0$ phải có 1 nghiệm bằng 1 hoặc bằng 2. Khi đó ta có:
$\left[ \begin{aligned}
& m-1=0 \\
& 4m-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
Với $m=1\Rightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\dfrac{x+1}{x-2}\Rightarrow \underset{x\Rightarrow {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2.$
Với $m=\dfrac{1}{4}\Rightarrow y=\dfrac{\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\dfrac{x+2}{4\left( x-1 \right)}\Rightarrow \underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1.$
Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn là $m=1,m=\dfrac{1}{4}.$
Đáp án C.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top