Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{{{y}^{2}}+8}}\le 7-{{y}^{2}}+3y$ ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 7.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 7.
${{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{{{y}^{2}}+8}}\le 7-{{y}^{2}}+3y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\le \dfrac{-{{y}^{2}}+3y+7}{{{y}^{2}}+8} \left( 1 \right)$
Với mọi $x$ ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2 \right)\ge 1$. Suy ra để $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì ta phải có $\dfrac{-{{y}^{2}}+3y+7}{{{y}^{2}}+8}\ge 1$ $\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-3y+1\le 0$ $\Leftrightarrow y\in \left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right]$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$ nên $y=1$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\le 1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy có duy nhất cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn.
Với mọi $x$ ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2 \right)\ge 1$. Suy ra để $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì ta phải có $\dfrac{-{{y}^{2}}+3y+7}{{{y}^{2}}+8}\ge 1$ $\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-3y+1\le 0$ $\Leftrightarrow y\in \left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right]$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$ nên $y=1$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\le 1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy có duy nhất cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn.
Đáp án B.