Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn $0<y<2020$ và ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}$ ?
A. $9$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $2019$.
A. $9$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $2019$.
Ta có: $3^{x}+3 x-6=9 y+\log _{3} y^{3} \Leftrightarrow 3^{x}+3 x-6=9 y+3 \log _{3} y$
$\Leftrightarrow 3^{x-1}+x-2=3 y+\log _{3} y \Leftrightarrow 3^{x-1}+x-1=3 y+\log _{3}(3 y)$
$\Leftrightarrow 3^{x-1}+x-1=3^{\log _{3}(3 y)}+\log _{3}(3 y)(*)$.
Xét hàm số $f(t)=3^{t}+t$. Ta có: $f^{\prime}(t)=1+3^{t} \cdot \ln 3>0, \forall t$.
Suy ra hàm số $f(t)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $(*) \Leftrightarrow f(x-1)=f\left(\log _{3}(3 y)\right) \Leftrightarrow x-1=\log _{3}(3 y) \Leftrightarrow x-2=\log _{3} y \Leftrightarrow y=3^{x-2}$.
Vì $y \in(0 ; 2020)$ nên $3^{x-2}<2020 \Leftrightarrow x-2<\log _{3} 2020 \Leftrightarrow x<2+\log _{3} 2020$
Do $x ; y \in \mathbb{Z}$ nên $x \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\}$. Úng với mỗi giá trị nguyên của $x$ cho ta 1 giá trị nguyên của $y$.
Vậy có 7 cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow 3^{x-1}+x-2=3 y+\log _{3} y \Leftrightarrow 3^{x-1}+x-1=3 y+\log _{3}(3 y)$
$\Leftrightarrow 3^{x-1}+x-1=3^{\log _{3}(3 y)}+\log _{3}(3 y)(*)$.
Xét hàm số $f(t)=3^{t}+t$. Ta có: $f^{\prime}(t)=1+3^{t} \cdot \ln 3>0, \forall t$.
Suy ra hàm số $f(t)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $(*) \Leftrightarrow f(x-1)=f\left(\log _{3}(3 y)\right) \Leftrightarrow x-1=\log _{3}(3 y) \Leftrightarrow x-2=\log _{3} y \Leftrightarrow y=3^{x-2}$.
Vì $y \in(0 ; 2020)$ nên $3^{x-2}<2020 \Leftrightarrow x-2<\log _{3} 2020 \Leftrightarrow x<2+\log _{3} 2020$
Do $x ; y \in \mathbb{Z}$ nên $x \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\}$. Úng với mỗi giá trị nguyên của $x$ cho ta 1 giá trị nguyên của $y$.
Vậy có 7 cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.