Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn $0\le x\le 2023$ và $1\le y\le 2023$ và ${{4}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)={{2}^{y+4}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right).$
A. $2022$.
B. $1011$.
C. $4039$.
D. $4037$.
A. $2022$.
B. $1011$.
C. $4039$.
D. $4037$.
Ta có: $ {{4}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( y+3 \right)={{2}^{y+4}}+{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{2x+1}}-{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)={{2.2}^{y+3}}-{{\log }_{2}}\left( y+3 \right).$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{2.2}^{u}}-{{\log }_{2}}u$ với $u\ge 1$.
Ta có ${f}'\left( u \right)={{2.2}^{u}}\ln 2-\dfrac{1}{u\ln 2}>0, \forall u>1$ nên hàm số $y=f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Khi đó $f\left( 2x+1 \right)=f\left( y+3 \right)\Leftrightarrow 2x+1=y+3\Leftrightarrow y=2x-2$.
Vì $1\le y\le 2023$ nên $1\le 2x-2\le 2023\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{2025}{2}$.
Suy ra $x\in \left\{ 2;3;\ldots ;1012 \right\}$.
Vậy có $1011$ cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn.
$\Leftrightarrow {{2.2}^{2x+1}}-{{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)={{2.2}^{y+3}}-{{\log }_{2}}\left( y+3 \right).$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{2.2}^{u}}-{{\log }_{2}}u$ với $u\ge 1$.
Ta có ${f}'\left( u \right)={{2.2}^{u}}\ln 2-\dfrac{1}{u\ln 2}>0, \forall u>1$ nên hàm số $y=f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Khi đó $f\left( 2x+1 \right)=f\left( y+3 \right)\Leftrightarrow 2x+1=y+3\Leftrightarrow y=2x-2$.
Vì $1\le y\le 2023$ nên $1\le 2x-2\le 2023\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{2025}{2}$.
Suy ra $x\in \left\{ 2;3;\ldots ;1012 \right\}$.
Vậy có $1011$ cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn.
Đáp án B.