Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x; y \right)$ thỏa mãn $x+y>0; -20\le x\le 20$ và ${{\log }_{2}}\left(x+2y \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y=0$ ?

Điều kiện: $x+2y>0$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left(x+2y \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y=0$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{\left(x+y \right)\left(x+2y \right)}{x+y}+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy \right)-{{\log }_{2}}\left(x+y \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y=0$ ( do có: $x+y>0$ )
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy={{\log }_{2}}\left(x+y \right)+x+y\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Xét hàm số: $f\left(t \right)={{\log }_{2}}t+t$, ta có: ${f}'\left(t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 , \forall t\in \left(0\ ;\ +\infty \right)$ nên hàm số $f\left(t \right)$ đồng biến trên $\left(0\ ;\ +\infty \right)$.
Do đó: $\left(1 \right)\Leftrightarrow f\left({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy \right)=f\left(x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy=x+y$
$\Leftrightarrow \left(x+y \right)\left(x+2y-1 \right)=0\Leftrightarrow x=1-2y\ $ vì $x+y>0$
+ Do $-20\le x\le 20$ suy ra $\dfrac{-19}{2}\le y\le \dfrac{21}{2}$
+ Do $x=1-2y\ \Leftrightarrow x+y=1-y>0$ nên $y<1$
+ Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ -9\ ;-8\ ;...;\ 0\ \right\}$, với mỗi giá trị $y$ cho ta 1 giá trị $x$ thoả đề.
Vậy có 10 cặp số nguyên $\left(x; y \right)$ thoả đề.