Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $2\le...

Đặt ${{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=t$. Suy ra $x+{{2}^{y-1}}={{2}^{t}}$, $x={{2}^{t}}-{{2}^{y-1}}$.
Phương trình đã cho trở thành: ${{2}^{y}}-t=2\left( {{2}^{t}}-{{2}^{y-1}} \right)-y\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+y={{2.2}^{t}}+t$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2.2}^{x}}+x$ có ${g}'\left( x \right)={{2.2}^{x}}\ln 2+1>0,\forall x$ nên hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn đồng biến.
Khi đó ${{2.2}^{y}}+y={{2.2}^{t}}+t\Leftrightarrow y=t$ hay $y={{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$.
Suy ra $x+{{2}^{y-1}}={{2}^{y}}\Leftrightarrow x={{2}^{y}}-{{2}^{y-1}}={{2}^{y-1}}$.
Mà $2\le x\le 2021$ nên $2\le {{2}^{y-1}}\le 2021\Leftrightarrow 1\le y-1\le {{\log }_{2}}2021$ hay $2\le y\le \left( {{\log }_{2}}2021 \right)+1$.
Lại có $y$ là số nguyên nên $y\in \left\{ 2,3,...,11 \right\}$ tức 10 giá trị thỏa mãn.
Xét biểu thức $x={{2}^{y-1}}$, mỗi giá trị nguyên của $y$ cho tương ứng 1 giá trị nguyên của $x$ nên có 10 cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.