Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x; y \right)$ thỏa mãn $2\le x\le 2021$ và ${{2}^{y}}-{{\log }_{2}}\left(x+{{2}^{y-1}} \right)=2x-y$ ?

Đặt ${{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=t$ $\Rightarrow x+{{2}^{y-1}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow x={{2}^{t}}-{{2}^{y-1}}$.
Phương trình đã cho trở thành: ${{2}^{y}}-t=2\left( {{2}^{t}}-{{2}^{y-1}} \right)-y\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+y={{2.2}^{t}}+t$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2.2}^{x}}+x$ có ${f}'\left( x \right)={{2.2}^{x}}\ln 2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$ suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó phương trình ${{2.2}^{y}}+y={{2.2}^{t}}+t\Leftrightarrow f\left( y \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow y=t$.
Suy ra phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=y\Leftrightarrow x+{{2}^{y-1}}={{2}^{y}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}$.
Theo bài ra $2\le x\le 2021\Rightarrow 2\le {{2}^{y-1}}\le 2021\Leftrightarrow 1\le y-1\le {{\log }_{2}}2021\Leftrightarrow 2\le y\le {{\log }_{2}}2021+1$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 2;3;4;...;11 \right\}$ có $10$ giá trị nguyên của $y$.
Mà $x={{2}^{y-1}}$ nên với mỗi số nguyên $y\in \left\{ 2;3;4;...;11 \right\}$ xác định duy nhất một giá trị nguyên của $x$.
Vậy có $10$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.