Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $2\le x\le 2021$ và ${{2}^{y}}-{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=2x-y$ ?

Đặt ${{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=t\Rightarrow x+{{2}^{y-1}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow x={{2}^{t}}-{{2}^{y-1}}.$
Phương trình đã cho trở thành: ${{2}^{y}}-t=2\left( {{2}^{t}}-{{2}^{y-1}} \right)-y\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+y={{2.2}^{t}}+t$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2.2}^{x}}+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow y=t.$
Suy ra phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=y\Leftrightarrow x+{{2}^{y-1}}={{2}^{y}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}.$
$2\le x\le 2021\Rightarrow 2\le {{2}^{y-1}}\le 2021\Leftrightarrow 1\le y-1\le {{\log }_{2}}2021$
$\Leftrightarrow 2\le y\le {{\log }_{2}}2021+1.$
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 2;3;4;...;11 \right\}$ có 10 giá trị nguyên của $y$.
Mà $x={{2}^{y-1}}$ nên với mỗi số nguyên $y\in \left\{ 2;3;4;...;11 \right\}$ xác định duy nhất một giá trị nguyên của $x.$
Vậy có 10 cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.