Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $2\le x\le 2021$ và $2^y-{\log }_2(x+2^{y-1})=2x-y$ ?

Đặt ${\log }_2(x+2^{y-1})=t\Rightarrow x+2^{y-1}=2^t\iff x=2^t-2^{y-1}.$
Phương trình đã cho trở thành: $2^y-t=2(2^t-2^{y-1})-y\iff {2.2}^y+y={2.2}^t+t$
Xét hàm số $f\left(x\right)={2.2}^x+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow y=t.$
Suy ra phương trình ${\log }_2(x+2^{y-1})=y\iff x+2^{y-1}=2^y\iff x=2^{y-1}.$
$2\le x\le 2021\Rightarrow 2\le 2^{y-1}\le 2021\iff 1\le y-1\le {\log }_{2}2021$
$\iff 2\le y\le {\log }_{2}2021+1.$
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{2;3;4;...;11\}$ có 10 giá trị nguyên của $y$.
Mà $x=2^{y-1}$ nên với mỗi số nguyên $y\in \{2;3;4;...;11\}$ xác định duy nhất một giá trị nguyên của $x.$
Vậy có 10 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn bài toán.