Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn $1\le x\le 2022$ và ${{384.128}^{{{x}^{2}}-2x}}-{{6.8}^{y}}+6=3y-7{{x}^{2}}+14x$ ?
A. $2022$.
B. $674$.
C. $1348$.
D. $1346$.
A. $2022$.
B. $674$.
C. $1348$.
D. $1346$.
${{384.128}^{{{x}^{2}}-2x}}-{{6.8}^{y}}+6=3y-7{{x}^{2}}+14x\Leftrightarrow {{3.2}^{7{{x}^{2}}-14x+7}}+7{{x}^{2}}-14x+7={{3.2}^{3y+1}}+3y+1\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3.2}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{3.2}^{t}}\ln 2+1>0$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-14x+7=3y+1\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-14x+6=3y$
Để tồn tại số nguyên $y$ thì $7{{x}^{2}}-14x+6$ phải chia hết cho $3$.
Ta có $7{{x}^{2}}-14x+6=7x\left( x-2 \right)+6$
Để $7{{x}^{2}}-14x+6$ chia hết cho $3$ thì $7x\left( x-2 \right)$ chia hết cho 3 khi đó $x$ là số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2.
Với $1\le x\le 2022$ có 674 số chia hết cho 3 và 674 số chia hết cho 3 dư 2. Vậy có tất cả $1348$ cặp $\left( x,y \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3.2}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{3.2}^{t}}\ln 2+1>0$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-14x+7=3y+1\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-14x+6=3y$
Để tồn tại số nguyên $y$ thì $7{{x}^{2}}-14x+6$ phải chia hết cho $3$.
Ta có $7{{x}^{2}}-14x+6=7x\left( x-2 \right)+6$
Để $7{{x}^{2}}-14x+6$ chia hết cho $3$ thì $7x\left( x-2 \right)$ chia hết cho 3 khi đó $x$ là số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2.
Với $1\le x\le 2022$ có 674 số chia hết cho 3 và 674 số chia hết cho 3 dư 2. Vậy có tất cả $1348$ cặp $\left( x,y \right)$.
Đáp án C.