Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn $0<y\le...

${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-2=3y+{{\log }_{3}}3y-1\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-1={{3}^{{{\log }_{3}}3y}}+{{\log }_{3}}3y\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>{{0}^{{}}}\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x-1={{\log }_{3}}3y\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}9y$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
0<y\le 2022 \\
y\in \mathbb{Z} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow 2\le {{\log }_{3}}9y<{{\log }_{3}}2022+2\Leftrightarrow 2\le x<{{\log }_{3}}2022+2$
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 2;3;...;8 \right\}$ nên có $7$ cặp $\left( x,y \right)$.