Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0\le x\le 4000$ và $5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4$ ?
A. $5$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $5$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
$5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4$
$\Leftrightarrow {{5.5}^{2y}}+10y+5=x+1+5{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{5}^{2y+1}}+5\left( 2y+1 \right)={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)}}+5.{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\text{ }\left( 1 \right)$
Có $f\left( t \right)={{5}^{t}}+5t\Rightarrow f'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+5>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R.$ Do đó:
$\left( f \right)\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)=f\left( {{\log }_{5}}\left( x+1 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 2y+1={{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x={{5}^{2y+1}}-1$
Có $0\le x\le 4000\Leftrightarrow 0\le {{5}^{2y+1}}-1\le 4000$
$\Leftrightarrow 1\le {{5.5}^{2y}}\le 4001\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\le {{5}^{2y}}\le \dfrac{4001}{5}.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{1}{5}\le 2y\le {{\log }_{5}}\dfrac{4001}{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{5}}\dfrac{1}{5}\le y\le \dfrac{1}{2}\log \dfrac{4001}{5}\approx 2,08$
Do $y\in Z\Rightarrow y\in \left\{ 0,1,2 \right\}\Rightarrow $ Có 3 giá trị nguyên $y$ nên cũng có 3 giá trị nguyên $x.$
Vậy có 3 cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn ycbt.
$\Leftrightarrow {{5.5}^{2y}}+10y+5=x+1+5{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{5}^{2y+1}}+5\left( 2y+1 \right)={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)}}+5.{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\text{ }\left( 1 \right)$
Có $f\left( t \right)={{5}^{t}}+5t\Rightarrow f'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+5>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R.$ Do đó:
$\left( f \right)\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)=f\left( {{\log }_{5}}\left( x+1 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 2y+1={{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x={{5}^{2y+1}}-1$
Có $0\le x\le 4000\Leftrightarrow 0\le {{5}^{2y+1}}-1\le 4000$
$\Leftrightarrow 1\le {{5.5}^{2y}}\le 4001\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\le {{5}^{2y}}\le \dfrac{4001}{5}.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{1}{5}\le 2y\le {{\log }_{5}}\dfrac{4001}{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{5}}\dfrac{1}{5}\le y\le \dfrac{1}{2}\log \dfrac{4001}{5}\approx 2,08$
Do $y\in Z\Rightarrow y\in \left\{ 0,1,2 \right\}\Rightarrow $ Có 3 giá trị nguyên $y$ nên cũng có 3 giá trị nguyên $x.$
Vậy có 3 cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn ycbt.
Đáp án D.