Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ sao cho $x,y$...

Cách giải:
Ta có:
${{2}^{x}}+y\le {{\log }_{2}}\left( x-y \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x\le x-y+{{\log }_{2}}\left( x-y \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x\le {{2}^{{{\log }_{2}}\left( x-y \right)}}+{{\log }_{2}}\left( x-y \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $f\left( x \right)\le f\left( {{\log }_{2}}\left( x-y \right) \right)\Leftrightarrow x\le {{\log }_{2}}\left( x-y \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}\le x-y$
Do $x,y\in \left[ -2;10 \right]\Rightarrow x-y\le 12\Rightarrow {{2}^{x}}\le 12.$
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow -2\le x\le 3\Rightarrow x\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}.$
Ta có: $y\le x-{{2}^{x}}$ nên:
Với:
$x=-2\Rightarrow y\le -\dfrac{9}{4}\left( ktm \right).$
$x=-1\Rightarrow y\le -\dfrac{3}{2}\Rightarrow y=-2$
$x=0\Rightarrow y\le -1\Rightarrow y\in \left\{ -2;-1 \right\}$
$x=1\Rightarrow y\le -1\Rightarrow y=\left\{ -2;-1 \right\}$
$x=2\Rightarrow y\le -2\Rightarrow y=-2$
$x=3\Rightarrow y\le -5\left( ktm \right)$
Vậy có 6 cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.