Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ sao cho $x,y$...

+) Điều kiện $x-y>0$.
+) Vì $x,y\in \left[ -2;10 \right]$ nên $x-y\le 12$. Do đó
${{2}^{x}}+y\le {{\log }_{2}}(x-y)\le {{\log }_{2}}12\Rightarrow {{2}^{x}}\le {{\log }_{2}}12-y\le {{\log }_{2}}12+2\approx 5,6$. Suy ra $x\le 2$.
+) $x-y>0\Rightarrow x>y\Rightarrow x\in \left\{ -1;\ 0;\ 1;\ 2 \right\}$
+) Với $x=-1\Rightarrow {{2}^{-1}}+y\le {{\log }_{2}}\left( -1-y \right)$. Điều kiện $-1-y>0\Rightarrow y<-1\Rightarrow y=-2$ (thỏa mãn). Có một nghiệm $\left( -1;\ -2 \right)$.
+) Với $x=0\Rightarrow 1+y\le {{\log }_{2}}\left( -y \right)$. Điều kiện $-y>0\Rightarrow y<0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-2 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. $ (thỏa mãn). Có hai nghiệm $ \left( 0;\ -2 \right),\ \left( 0;\ -1 \right)$.
+) Với $x=1\Rightarrow 2+y\le {{\log }_{2}}\left( 1-y \right)$. Điều kiện $1-y>0\Rightarrow y<1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-2\ (N) \\
& y=-1\ (N) \\
& y=0\ (L) \\
\end{aligned} \right.$.
Có hai nghiệm $\left( 1;\ -2 \right),\ \left( 1;\ -1 \right)$.
+) Với $x=2\Rightarrow 4+y\le {{\log }_{2}}\left( 2-y \right)$. Ta có $VT\ge 2,\ VP\le 2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=-2$. Có một nghiệm $\left( 2;\ -2 \right)$.
Vậy bất phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.