Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ nguyên thỏa mãn $\left(4xy+7y \right)\left(2x-1 \right)\left( {{e}^{2xy}}-{{e}^{4x+y+7}}...

Phương pháp:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng, từ đó tìm $y$ theo $x.$
- Tìm điều kiện để $y\in \mathbb{Z}.$
Cách giải:
Ta có $\left( 4xy+7y \right)\left( 2x-1 \right)\left( {{e}^{2xy}}-{{e}^{4x+y+7}} \right)=\left[ 2x\left( 2-y \right)+y+7 \right]{{e}^{y}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{2xy}}-{{e}^{4x+y+7}}}{{{e}^{y}}}=\dfrac{2x\left( 2-y \right)+y+7}{\left( 4xy+7y \right)\left( 2x-1 \right)}=\dfrac{4x-2xy+y+7}{\left( 4xy+7y \right)\left( 2x-1 \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{2xy-y}}-{{e}^{4x+7}}=\dfrac{4x+7}{y\left( 4x+7 \right)\left( 2x-1 \right)}+\dfrac{y\left( 1-2x \right)}{y\left( 4x+7 \right)\left( 2x-1 \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{2xy-y}}-{{e}^{4x+7}}=\dfrac{1}{y\left( 2x-1 \right)}+\dfrac{1}{4x+7}$
$\Leftrightarrow {{e}^{y\left( 2x-1 \right)}}-\dfrac{1}{y\left( 2x-1 \right)}={{e}^{4x+7}}-\dfrac{1}{4x+7}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}-\dfrac{1}{t}\left( t\ne 0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}>0\forall t\ne 0,$ do đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, từ đó ta có: $f\left( y\left( 2x-1 \right) \right)=f\left( 4x+7 \right)\Leftrightarrow y\left( 2x-1 \right)=4x+7.$
$\Rightarrow y=\dfrac{4x+7}{2x-1}=\dfrac{4x-2+9}{2x-1}=2+\dfrac{9}{2x+1}.$
Vì $y$ nguyên nên $\dfrac{9}{2x+1}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 2x+1\in \left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow x\in \left\{ 0;-1;1;-2;4;-5 \right\}\Rightarrow $ Có $6$ giá trị của $x$ thỏa mãn.
Vậy có 6 cặp thỏa mãn số $\left( x;y \right)$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.