Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ với $1<a<b<100$ để...

Ta có ${{a}^{x}}\ln b={{b}^{x}}\ln a\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{x}}=\dfrac{\ln a}{\ln b}\Leftrightarrow x={{\log }_{\dfrac{a}{b}}}\left( \dfrac{\ln a}{\ln b} \right)$.
Với $1<a<b<100\Rightarrow \dfrac{a}{b}\in \left( 0;1 \right)$ do đó ${{\log }_{\dfrac{a}{b}}}\left( \dfrac{\ln a}{\ln b} \right)<1\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{\ln b}>\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a}>\dfrac{\ln b}{b}$.
Hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{x}$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \left( 0;\text{e} \right)$ và ${g}'\left( x \right)<0$, $\forall x\in \left( \text{e};+\infty \right)$.
$g\left( 2 \right)=g\left( 4 \right)=\dfrac{\ln 2}{2}$.
Vì vậy $\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln 4}{4}=\dfrac{\ln 2}{2}>\dfrac{\ln 5}{5}>...>\dfrac{\ln 98}{98}>\dfrac{\ln 99}{99}$.
Trường hợp 1: $a=2\Rightarrow b\in \left\{ 5;6;...;99 \right\}$ trường hợp này có $95$ cặp số thỏa mãn.
Trường hợp 2: $a=3\Rightarrow b\in \left\{ 4;5;...;99 \right\}$ trường hợp này có $96$ cặp số thỏa mãn.
Trường hợp 3: $a=4\Rightarrow b\in \left\{ 5;6;...;99 \right\}$ trường hợp này có $95$ cặp số thỏa mãn.
Trường hợp 4: với mỗi $a=k\in \left\{ 5;6;...98 \right\}$ thì $b\in \left\{ k+1;...;99 \right\}$ có $99-k$ cách chọn $b$, trường hợp này có tất cả $\sum\limits_{5}^{98}{\left( 99-k \right)}=4465$ cặp số thỏa mãn.
Vậy có tất cả $95+96+95+4465=4751$ cặp số thỏa mãn.