Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn...

$3\left( {{9}^{y}}+2y \right)\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le \left( x+1 \right)+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right) \left( 1 \right)$, với $f\left( t \right)\le {{3}^{t}}+3t$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2y+1\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$ $\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}-1\le x \left( 2 \right)$.
Do $x, y$ nguyên dương và $x\le 2022$ nên từ $\left( 2 \right)$ ta có:
${{3}^{2y+1}}-1\le 2022$ $\Rightarrow 1\le y\le \dfrac{{{\log }_{3}}2023-1}{2}\approx 2,97$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=1 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.$
 Với $y=1$ : Ta có $26\le x\le 2022$. Suy ra có 1997 cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
 Với $y=2$ : Ta có $242\le x\le 2022$. Suy ra có 1781 cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Vậy có 3778 cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.