Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\ln \dfrac{x+1}{5y+1}\le 25{{y}^{4}}+10{{y}^{3}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{y}^{2}}x,$...

Ta có: $25{{y}^{4}}+10{{y}^{3}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{y}^{2}}x$
$=25{{y}^{4}}+10{{y}^{3}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{y}^{2}}x-{{y}^{2}}$
$=\left( 25{{y}^{4}}+10{{y}^{3}}+{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}x+{{y}^{2}} \right)$
$={{y}^{2}}\left( 25{{y}^{2}}+10y+1 \right)-{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)$
$={{y}^{2}}\left[ {{\left( 5y+1 \right)}^{2}}-{{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]$
Do đó: $\ln \dfrac{x+1}{5y+1}\le 25{{y}^{2}}+10{{y}^{3}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{y}^{2}}x$
$\Rightarrow \ln \left( x+1 \right)-\ln \left( 5y+1 \right)\le {{y}^{2}}\left[ {{\left( 5y+1 \right)}^{2}}-{{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]$
+) TH1: $x+1>5y+1$ thì vế phải âm (không thỏa mãn).
+) TH2: $x+1\le 5y+1$ thì vế trái không dương, vế phải không âm nên sẽ luôn thỏa mãn khi
$\left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x+1>0 \\
& 5y+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x+1<0 \\
& 5y+1<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& x+1\le 5y+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& y>-\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& y<-\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& x\le 5y \\
\end{aligned} \right.. $ Do $ x,y$ là số nguyên dương nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& y>-\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& x\le 5y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& y\ge 1 \\
& x\le 5y \\
\end{aligned} \right.\left( y\le 2022;x,y\in \mathbb{Z} \right).$
Vậy $y\in \left[ 1;2022 \right],x\in \left[ 1;10110 \right].$
Ứng với mỗi $y$ nguyên dương có $5y$ cặp $\left( x;y \right).$ Do đó số cặp:
$5\left( 1+2+3+...+2022 \right)=\dfrac{5.2022.2023}{2}=10226265$ cặp.